Βράζουμε τα αυγά σε άφθονο νερό για 12 λεπτά μέχρι να ψηθούν. Τα μουλιάζουμε σε παγωμένο νερό για να φύγει η θερμότητα του βρασίματος, ξεφλουδίζουμε τα αυγά και τα αφήνουμε να κρυώσουν εντελώς.

Για να κάνουμε τα αυγά τουρσί, ανοίγουμε πρώτα το βαζάκι με τα παντζάρια και ρίχνουμε το υγρό σε ένα μπολ. Κόβουμε 1 παντζάρι στα τέσσερα και το προσθέτουμε στο προηγούμενο υγρό. Προσθέτουμε και το ξίδι, τη ζάχαρη, το πιπέρι και το αλάτι και ανακατεύουμε καλά.

Βάζουμε τα βρασμένα αυγά σε αυτή την άλμη και τα αφήνουμε να γίνουν τουρσί για 6 με 12 ώρες.

Κατόπιν, βγάζουμε τα αυγά από την άλμη, τα κόβουμε κατά μήκος και βγάζουμε τους κρόκους.

Γεμίζουμε τα αυγά με αυτό το μείγμα και προσθέτουμε στο τέλος το ξύσμα λάιμ.

Σερβίρουμε με κομματάκια πράσινης ελαφρώς καυτερής πιπεριάς ή κάπαρη.